\subsection{垂线}\label{subsec:czjh1-2-2}

我们研究两条相交直线的特殊情形。

如图 \ref{fig:czjh1-2-3} ， 直线 $AB$、$CD$ 相交于点 $O$，$\angle BOC$ 为直角。
根据邻补角的性质与对顶角的性质，可以知道，
其他三个角 $\angle AOC$、$\angle BOD$、$\angle AOD$ 都是直角。

当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们说这\zhongdian{两条直线互相垂直}，
其中的一条直线叫做另一条直线的\zhongdian{垂线}。它们的交点叫做\zhongdian{垂足}。

垂直用符号 “$\perp$” 表示，两条直线 $AB$ 与 $CD$ 垂直，
记作 $AB \perp CD$ (或 $CD \perp AB$)，读作 “$AB$ 垂直于 $CD$”。
如果垂足为 $O$，写作 “$AB \perp CD$， 垂足为 $O$” （图 \ref{fig:czjh1-2-3}）。

如图 \ref{fig:czjh1-2-3}， 已知 $\angle BOC = 90^\circ$，根据垂直的定义，可以得出 $AB \perp CD$；
反过来，已知 $AB \perp CD$，那么根据垂直的定义可得出 $\angle BOC = \angle AOC = \angle AOD = \angle BOD = 90^\circ$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-03}
        \caption{}\label{fig:czjh1-2-3}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-04}
        \caption{}\label{fig:czjh1-2-4}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-05}
        \caption{}\label{fig:czjh1-2-5}
    \end{minipage}
\end{figure}

两条直线相交不成直角时，其中的一条叫做另一条的\zhongdian{斜线}，它们的交点叫做\zhongdian{斜足}。
如图 \ref{fig:czjh1-2-4}， 直线 $CD$ 是 $AB$ 的斜线， $AB$ 也是 $CD$ 的斜线，点 $O$ 是斜足。

在生产和生活中，常常遇到两条直线互相垂直的情形。
例如，水平线和铅垂线是互相垂直的（图 \ref{fig:czjh1-2-5}），
黑板的相邻的两条边、篮球场地的相邻两条边线也都是互相垂直的。

\begin{figure}[htbp]
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    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=6cm]{../pic/czjh1-ch2-06.png}
        \caption{}\label{fig:czjh1-2-6}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=4cm]{../pic/czjh1-ch2-07.png}
        \caption{}\label{fig:czjh1-2-7}
    \end{minipage}
\end{figure}

经过已知直线 $l$ 上的一点 $A$ 或直线 $l$ 外一点 $B$ 画直线 $l$ 的垂线，可以用三角板或量角器。
用三角板画垂线的方法如图 \ref{fig:czjh1-2-6} 所示。工人师傅在画工件边缘的垂线时，常用角尺（图\ref{fig:czjh1-2-7}） 。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-08-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-08-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh1-2-8}
\end{figure}

如图 \ref{fig:czjh1-2-8} ， 已知一条直线 $l$ 和一点 $P$, 无论是点 $P$ 在直线 $l$ 上（图\ref{fig:czjh1-2-8} 甲）,
还是在直线 $l$ 外（图 \ref{fig:czjh1-2-8} 乙），经过点 $P$ 都能画一条直线与直线 $l$ 垂直，
而且也只能画一条与直线 $l$ 垂直。所以，垂线有下面的性质：

\begin{xingzhi}
    经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。
\end{xingzhi}

下面，我们来看图 \ref{fig:czjh1-2-9}。点 $P$ 是直线 $l$ 外的一点， $PO \perp l$，垂足为 $O$；
直线 $PA$，$PB$、 $PC$、 … 与直线 $l$ 交于点 $A$、$B$、$C$、…。
因为过点 $P$ 与直线 $l$ 垂直的直线只有一条，所以，
直线 $PA$，$PB$、 $PC$、 …  \; 都是直线 $l$ 的斜线，点 $A$、$B$、$C$、… \; 都是斜足。
线段 $PO$ 是点 $P$ 到直线 $l$ 的\zhongdian{垂线线}；
线段 $PA$、$PB$、$PC$、… 都是点 $P$ 到直线 $l$ 的\zhongdian{斜线段}。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-09}
        \caption{}\label{fig:czjh1-2-9}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-10}
        \caption{}\label{fig:czjh1-2-10}
    \end{minipage}
\end{figure}

我们用两脚规比较垂线段 $PO$ 和斜线段 $PA$、$PB$、$PC$、… 的大小，可以知道，
垂线段 $PO$ 比任何一条斜线段都短。由此得出垂线的又一个性质：

\begin{xingzhi}
    直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
\end{xingzhi}

这句话可以简单说成：
\begin{xingzhi}
    垂线段最短。
\end{xingzhi}

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做\zhongdian{点到直线的距离}。
例如，图 \ref{fig:czjh1-2-9} 中，垂线段 $PO$ 的长度，就是点 $P$ 到直线 $l$ 的距离。

在图 \ref{fig:czjh1-2-10} 中，过线段 $AB$ 的中点 $M$ 画 $AB$ 的垂线 $CD$，
那么直线 $CD$ 垂直于线段 $AB$，并且平分线段 $AB$。
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的\zhongdian{垂直平分线}或\zhongdian{中垂线}。

\begin{lianxi}

\xiaoti{任意画一个锐角 $AOB$，在边 $OA$ 上任意取一个点 $C$，过点 $C$ 用三角板画 $CD \perp OA$， $CE \perp OB$。}

\xiaoti{从直线 $AB$ 外一点 $C$ 到直线 $AB$， 画一条垂线段和任意的三条斜线段。
    分别量出这些垂线段和斜线段的长度（精确到 $1\;\haomi$），看哪一条最短。
}

\xiaoti{量出图中下列距离（精确到 $1\;\haomi$）：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{点 $B$ 到直线 $AC$ 的距离；}

    \xxt{点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离。}

\end{xiaoxiaotis}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-subsec2-lx-3}
        \caption*{（第 3、4 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch2-subsec2-lx-5}
        \caption*{（第 5 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\xiaoti{用三角板和刻度尺画线段 $AB$、$BC$、$CA$ 的中垂线。}

\xiaoti{填空（如图）：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{\begin{tblr}[t]{colsep=0pt}
        $\because$ \quad & $AB \perp CD$，$AM = MB$（已知）， \\
        $\therefore$     & \ewkh[3em] 是 \ewkh[3em] 的中垂线（中垂线定义）；
    \end{tblr}}

    \xxt{\begin{tblr}[t]{colsep=0pt}
        $\because$ \quad & $CD$ 是 $AB$ 的中垂线， \\
        $\therefore$     & $AB \perp \ewkh[3em]$， $AM = \exdfrac{1}{2} \ewkh[3em]$ （中垂线定义）。
    \end{tblr}}

\end{xiaoxiaotis}

\end{lianxi}

